母平均が分からなくても母標準偏差を推定する方法【中卒でも分かる統計学入門】

これまでの記事を読んで内容を理解してもらえたなら、今回の記事を読むことで、「正規母集団の母平均・母分散が分からなくても、標本から母標準偏差（母集団データの散らばり具合）を区間推定する」ことができる。

まずは前回の復習になるが、正規母集団からn個の標本を観測して標本分散を算出し、統計量Wを導き出せば、Wは自由度(n – 1)のカイ二乗分布をする、というところまで分かった。

カイ二乗分布は95パーセント予言的中区間を持っているので、これより母分散と母標準偏差の区間推定が可能となる。

では例題を解きながら、その具体的な方法を紹介しよう。

例題：母標準偏差の95パーセント信頼区間を求める

正規母集団から5人の身長データ（標本）を観測する。
それぞれ170cm、180cm、158cm、169cm、176cmだった場合、母標準偏差の95パーセント信頼区間はどうなるか、つまり母集団のデータがどの程度の散らばり具合を表しているかを考える。

まずは標本平均と標本分散を計算する。

$$\bar{x} = \frac{170 + 180 + 158 + 169 + 176}{5} = 170.6$$

$$S^2 = \frac{(170 – 170.6)^2 + (180 – 170.6)^2 + (158 – 170.6)^2 + (169 – 170.6)^2 + (176 – 170.6)^2}{5}$$

$$S^2 = \frac{(-0.6)^2 + (9.4)^2 + (-12.6)^2 + (-1.6)^2 + (5.4)^2}{5}$$

$$S^2 = \frac{0.36 + 88.36 + 158.76 + 2.56 + 29.16}{5}$$

$$S^2 = \frac{279.2}{5} = 55.84$$

次に標本分散から統計量Wを求める。

$$W = \frac{55.84 \times 5}{σ^2} = \frac{279.2}{σ^2}$$

今回は5個のデータを観測したので、Wは自由度4(5 – 1)のカイ二乗分布をする。

自由度4の95パーセント予言的中区間は、以前の記事で取り上げた表のとおり以下の区間に該当する。

自由度	相対度数：0.975	相対度数：0.025
4	0.4844	11.1433

$$0.4844 \leqq \frac{279.2}{σ^2} \leqq 11.1433$$

この不等式を解いていこう。

まずは左の式から。

$$0.4844σ^2 \leqq 279.2$$

$$σ^2 \leqq 576.38…$$

右の式も解く。

$$279.2 \leqq 11.1433σ^2$$

$$25.05… \leqq σ^2$$

不等式を解くと次の区間推定が得られる。
※小数点第3位以下は面倒なので切り捨てた。

$$25.05 \leqq σ^2 \leqq 576.38$$

最後に3辺のルートをとれば、母標準偏差を求められる。
次のとおりだ。

$$\sqrt{25.05} \leqq σ \leqq \sqrt{576.38}$$

$$約5 \leqq σ \leqq 約24$$

このことから、この母集団の母標準偏差（散らばり具合）は95パーセントの確率で約5cmから約24cmの範囲にある、と推定することができるのだ。

ここまでの計算をpythonで関数化してみたので、最後にコードを紹介して終わりにしよう。

import numpy as np

# カイ二乗分布の95パーセント信頼区間
chi = {
    1: [0.001, 5.023],
    2: [0.0506, 7.377],
    3: [0.2157, 9.3484],
    4: [0.4844, 11.1433],
    5: [0.8312, 12.8325],
    6: [1.2373, 14.4494],
    7: [1.6898, 16.0128]
}

# 母標準偏差を区間推定する関数
def sample_func(arr):
    # 標本平均
    avg = np.average(arr)
    
    # 標本分散
    var = np.var(arr)
    
    # 区間推定
    w = var * len(arr)
    x = chi[len(arr) - 1][0]
    y = chi[len(arr) - 1][1]
    
    x2 = w / x
    y2 = w / y
    
    x3 = np.sqrt(x2)
    y3 = np.sqrt(y2)
    
    print("標本データ："+str(arr))
    print("母標準偏差の95パーセント推定区間は\n"+str(y3)+"\nから\n"+str(x3)+"\nの範囲です。")
    
# 標本データ
arr = [170, 180, 158, 169, 176]

sample_func(arr)

このコードをJupyter Notebookで実行すると以下の出力結果が得られる。

例題：母標準偏差の95パーセント信頼区間を求める

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