標本分散に比例する統計量Wの求め方【中卒でも分かる統計学入門】

前回の記事では、正規母集団から観測された標本から母平均μを引き、母標準偏差σで割った値の2乗の和（統計量V）を作り、カイ二乗分布するVの区間推定をおこなう例を見てきた。

カイ二乗分布から母分散を推定する【中卒でも分かる統計学入門】

ただし「母平均μが分かっている」ということは現実世界ではなかなかあり得ないことである。

最終的には母平均μが分からないという状況下で推定をおこなうことを考えていくが、その前に今回は標本平均（xバー）を使って、新たな統計量Wを作っていくことを考える。

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Wは標本分散に比例する統計量

前回解説した統計量Vの求め方（自由度3の場合）は以下のとおりだった。

$$V = (\frac{x1 – μ}{σ})^2 + (\frac{x2 – μ}{σ})^2 + (\frac{x3 – μ}{σ})^2$$

分子で標本データxから母平均μを引いているが、標本平均xバーを引くとどうなるか。

$$W = (\frac{x1 – \bar{x}}{σ})^2 + (\frac{x2 – \bar{x}}{σ})^2 + (\frac{x3 – \bar{x}}{σ})^2$$

$$W = \frac{(x1 – \bar{x})^2}{σ^2} + \frac{(x2 – \bar{x})^2}{σ^2} + \frac{(x3 – \bar{x})^2}{σ^2}$$

実はこのWは標本分散に比例することが分かる。

まず標本分散を求める式を見てみよう。

$$S^2 = \frac{(x1 – \bar{x})^2 + (x2 – \bar{x})^2 + (x3 – \bar{x})^2}{n}$$

Wを求める式と標本分散を求める式の分子が同じだ。

このことから、標本分散にデータ数nを掛けて分母を払った式と、Wに母分散σ2乗を掛けて分母を払った式が同じになることが分かる。

$$S^2 \times n = W \times σ^2$$

つまり、Wと標本分散は比例する関係になっており、次の式も成り立つということだ。

$$S^2 = \frac{W \times σ^2}{n}$$

$$W = \frac{S^2 \times n}{σ^2}$$

実は統計量Wは自由度（n – 1）のカイ二乗分布になる。

これを「なぜそうなるのか」と理解しようとするとかなり難解になるなので、数学者がそう言っているのだからそういうものなのか、と理解しておくことにする。

では早速例題を解いて理解を深めていくことにしよう。

正規母集団から5人の身長データ（標本）を観測する。
それぞれ170cm、180cm、158cm、169cm、176cmだった場合の統計量Wを算出し、どのような分布になるのかを考える。

まずは標本平均（xバー）から求めていこう。

$$\bar{x} = \frac{170 + 180 + 158 + 169 + 176}{5} = 170.6$$

次に標本分散を求める。

$$S^2 = \frac{(170 – 170.6)^2 + (180 – 170.6)^2 + (158 – 170.6)^2 + (169 – 170.6)^2 + (176 – 170.6)^2}{5}$$

$$S^2 = \frac{(-0.6)^2 + (9.4)^2 + (-12.6)^2 + (-1.6)^2 + (5.4)^2}{5}$$

$$S^2 = \frac{0.36 + 88.36 + 158.76 + 2.56 + 29.16}{5}$$

$$S^2 = \frac{279.2}{5} = 55.84$$

Wと標本分散の関係式に値を当てはめると次のとおり。

$$W = \frac{55.84 \times 5}{σ^2} = \frac{279.2}{σ^2}$$

そしてこの統計量Wは自由度4（5 – 1）の分布をする、ということになる。