カイ二乗分布から母分散を推定する【中卒でも分かる統計学入門】

前回の記事で紹介したカイ二乗分布を理解できれば、母分散を推定することができる。

カイ二乗分布についてまだ知らない方は、以下の記事をチェックしてくれ。

標本分散とカイ二乗分布【中卒でも分かる統計学入門】

さて、分布を知ることができれば「95パーセント予言的中区間」を導き出すことができる。

カイ二乗分布の相対度数

以下の表は、自由度毎の95パーセント信頼区間を表したものだ。

例えば以下の式で統計量Vを算出した場合を考える。

$$V = x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + x5^2$$

表を見ると自由度5のとき、Vが0.8312以上となる確率は97.5%で、12.8325以上となる確率が2.5%ということが分かる。

つまり、Vの95パーセント信頼区間は次のとおりだ。

$$0.8312 \leqq V \leqq 12.8325$$

今回は母平均μが分かっているという前提で例題を解いていく。

また身長データを例にしよう。
ある正規母集団の母平均が170cmだとする。
この母集団から3個の標本を観測し、それぞれ168cm、178cm、175cmだった場合、母分散の95パーセント信頼区間は何になるか？を考える。

まずは統計量Vを算出しよう。

$$V = (\frac{x1 – μ}{σ})^2 + (\frac{x2 – μ}{σ})^2 + (\frac{x3 – μ}{σ})^2$$

$$V = (\frac{168 – 170}{σ})^2 + (\frac{178 – 170}{σ})^2 + (\frac{175 – 170}{σ})^2$$

$$V = \frac{(-2)^2}{σ^2} + \frac{8^2}{σ^2} + \frac{5^2}{σ^2}$$

$$V = \frac{4}{σ^2} + \frac{64}{σ^2} + \frac{25}{σ^2}$$

$$V = \frac{93}{σ^2}$$

先に挙げた自由度nの95パーセント信頼区間の表から、自由度3の部分を抜粋したものが以下の表だ。

自由度	相対度数：0.975	相対度数：0.025
3	0.2157	9.3484

表の値から以下の不等式が出来上がる。

$$0.2157 \leqq \frac{93}{σ^2} \leqq 9.3484$$

次にこの式を解いていく。

$$0.2157σ^2 \leqq 93 \leqq 9.3484σ^2$$

左の不等式と、右の不等式をそれぞれ割り算して解く。

$$σ^2 \leqq \frac{93}{0.2157} = σ^2 \leqq 431.15..$$

$$\frac{93}{9.3484} \leqq σ^2 = 9.948.. \leqq σ^2$$

以上の結果から、母分散の95パーセント信頼区間は以下の不等式が成り立つことが分かる。

$$9.948.. \leqq σ^2 \leqq 431.15..$$

また、最後に3辺のルートをとれば、母標準偏差の区間推定をおこなうこともできる。

$$3.154.. \leqq σ \leqq 20.764..$$

これが母平均が分かっている状態での母分散の区間推定のやり方だ。